Memahami Sistem Persamaan Linier Dan Metode Penyelesaiannya

Sistem Persamaan Linier | Materi Kuliah Persamaan linier sama halnya dengan persamaan aljabar , yaitu merupakan sebuah  sisitem hitung dalam ilmu matematika dan dapat digambarkan dalam bentuk garis lurus dalam sebuah grafik . Sistem persamaan linier disebut juga dengan sisitem persamaan garis . Dan pada pembahasan sebelumnya , telah kita pelajari rumus sistem persamaan garis lurus , jadi pasti kita masih ingat dong bagaimana gambaran tentang bentuk persamaan .

Lalu bagaimanakah cara atau metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linier ? Pada pembahasan kali ini , kita akan mempelajari apa itu persamaan linier dan bagaimana metode dalam meyelesaikan persamaan linier secara lengkap dan tepat .

Sistem Persamaan Linier

Sebelum kita mempelajari bagaimana metode dalam menyelesaikan siste persamaan linier , maka kita harus memahami terlebih dahulu mengenai definisi kalimat terbuka dan definisi persamaan serta tentang sistem persamaan linier . Sehingga dalam menyelesaikan persamaan linier kita tidak bingung.

A. Pengertian Kalimat terbuka , persamaan dan persamaan linier 

Kalimat Terbuka , yaitu suatu kalimat yang memiliki atau memuat variabel .

Persamaan , yaitu kalimat terbuka yang menyatakan hubugan sama dengan ( = ) .

Persamaan Linier , yaitu suatu persamaan yang setiap sukunya mengandung konstanta dengan variabelnya berderajat satu ( tunggal ) dan persamaan ini , dapat digambarkan dalam sebuah grafik dalam sistem koordinat kartesius .

Suatu Persamaan akan tetap bernilai benar atau EKWIVALENT ( < = > ) , Apabila ruas kiri dan ruas kanan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama .

Bentuk umum persamaan linier :

y = mx + b 

Contoh bentuk persamaan linier :

y = -x + 5

y = -05x + 2

Contoh bentuk grafik persamaan linier :

Dari gambar di atas , dapat kita simpulkan bahwasannya m atau gradiennya = 0,5 dan b atau titik potong sumbu y = 2  ( pada garis merah )

B. Metode Penyelesaian Persamaan Linier 

Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sebuah permasalahan persamaan linier , metode – metode tersebut adalah :

a. Metode Substitusi

b. Metode Eliminasi

c. Metode Campuran ( eliminasi dan substitusi )

d. Metode grafik

Berikut adalah penjelasan lebih rinci mengenai metode penyelesaian persamaan linier :

1. Metode Substitusi 

Metode subsitusi yaitu metode atau cara menyelesaikan persamaan linier dengan mengganti salah satu peubah dari suatu persamaan dengan peubah yang diperoleh dari persamaan linier yang lainnya .

Untuk lebih jelasnya lagi , perhatikan contoh berikut ini :

Diketahui persamaan  x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan Himpunana Penyelesaiannya :

Penyelesaiannya :

x + 3y = 7

< = > x = -3y + 7   . . . .( 1 )

Lalu , masukkan persamaan ( 1 ) ke dalam persamaan ( 2 ) untuk mencari nilai y

2x + 2y = 6

< = > 2 ( -3y + 7 ) + 2y = 6

< = > -6y + 14 + 2y = 6

< = > -6y + 2y = 6 – 14

< = > -4y = – 8

< = > y = 2

Gunakan persamaan antara persamaan ( 1 ) atau ( 2 ) untuk mencari nilai x

x + 3y = 7

< = > x + 3 ( 2 ) = 7

< = > x + 6 = 7

< = > x = 1

Jadi , HP = { 1 , 2 }

2. Meode Eliminasi 

Metode Eliminasi , yaitu metode penyelesaian sistem persamaan linir dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu peubah dengan menambahkan atau mengurangkan dengan menyamakan koefisien yang akan dihilangkan tanpa memperhatikan nilai positif atau negatif .

Apabila peubah yang akan dihilangkan bertanda sama , maka untuk mengeliminasi menggunakan sistem operasi pengurangan . Dan sebaliknya apabila peubah yang akan dihilangkan bertanda berbeda , maka untuk mengaliminasi menggunakan operasi penjumlahan .

Utuk lebih jelasnya , perhatikan contoh berikut ini :

Masih dengan contoh yang sama , namun dengan cara yang berbeda yaitu :

Diketahui dua persamaan  x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan HP dari persamaan tersebut !

Langkah pertama adalah lakukan eliminasi dengan mengurangkan untuk menghilangkan peubah atau koefisien x untuk mengetahui nilai y

2x + 2y = 6   : 2

< = > x + y = 3

lalu , lakukan

x + 3y = 7

x + y = 3   _

2y = 4

y = 2

Langkah selanjutnya adalah lakukan eliminasi dengan mengurangkan untuk menghilangkan peubah atau koefisien y untuk mengetahui nilai x

2x + 2y = 6 | x3 | < = >  6x + 6y = 18

x + 3y = 7 | x 2 | < = >  2x + 6 y = 14      _

                                           4x + 0 = 4

                                               x = 1

Jadi , Himpunan penyelesaian yang dihasilkan sama yaitu HP = { 1 , 2 }

3. Metode Campuran ( antara eliminasi dan substitusi ) 

Yang dimaksud dari metode ini , yaitu kita dalam mencari himpunan penyelesaian menggunakan dua metode boleh gunakan eliminasi terlebih dahulu setelah diketahui salah satu nilai peubah baik itu x atau y maka selanjutnya masukkan ke dalam metode substitusi atau sebaliknya .

Untuk lebih jelasnya , perhatikan contoh berikut :

Diketahui dua persamaan  x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan HP dari persamaan tersebut !

Langkah pertama lakukan metode eliminasi , untuk mecari nilai x

2x + 2y = 6 | x3 | < = >  6x + 6y = 18

x + 3y = 7 | x 2 | < = >  2x + 6 y = 14      _

                                           4x + 0 = 4

                                               x = 1

Selanjutnya substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan :

x + 3y = 7

< = > 1 + 3y = 7

< = > 3y = 7  – 1

< = > 3y = 6

< = > y = 2

 Maka hasilnyapun sama yaitu HP = { 1 , 2 }

4. Metode Grafik 

Metode grafik , yaitu dengan menggambarkan dua persamaan pada grafik kartesius , dan himpunan penyelesaiannya dihasilkan dari titik potong dari kedua garis tersebut . Yang perlu diperhatikan yaitu ketika menggambar titik sumbu kartesiusnya harus sama dan konsisten .

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar grafik berikut :

Gambarlah grafik persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , dan tentukan titik potongnya

Dari gambar di atas , maka kita dapat melihat bahwa titik potongnya berada pada titik { 1 , 2 } dan dengan kata lain HP = { 1 , 2 }

Demikian penjelasan mengenai sistem persamaan linier dan metode penyelesaiannya . Semoga dengan penjelasan diatas kita dapat lebih faham mengenai apa itu sistem persamaan dan cara – cara dalam menyelesaikannya . Untuk memudahkan dalam menyelesaikan sistem persamaan , langkah yang pertama yaitu memahami bentuk dari persamaan linier itu sendiri dan selanjutnya kita fahami cara – caranya . Semoga bermanfaat dan dapat membantu permasalahan dalam menyelesaikan persamaan linier .

Pengertian Dan Metode Penyelesaian SPLDV Secara Lengkap

Materi Kuliha - Pengertian Dan Metode Penyelesaian SPLDV | Metode Penyelesaian SPLDV merupakan salah satu cabang dari sistem persamaan linier .SPLDV merupakan kependekan dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel . Lalu apakah yang di maksed dengan SPLDV ? Dan bagaimaternakah metode penyelesaiannya ? Apakah metode penyelesaiannya sama hal nya dengan metode penyelesaian sistem linier seperti yang telah kita pelajari pada pembahasan sebelumnya ? Untuk lebih jelas lagi maka mari kita pelajari bersama kembali bagaimana metode penyelesaian sistem persamaan Linier Dua Variabel .

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel ( SPLDV )

Sebelum kita mempelajari lebih mendalam tentang bagaimana metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel , maka langkah pertama kita harus memahami pengertian , ciri – ciri dan hal – hal yang berhubungan dengan sistem persamaan linier variabel .

SPLDV , adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan dalam bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan berpangkat satu dan apabila digambarkan dalam sebuah grafik maka akan membentuk garis lurus . Dan karena hal ini lah maka persamaan ini di sebut dengan persamaan linier .

Ciri – ciri SPLDV :

• Menggunakan relasi tanda sama dengan ( = )
• Memiliki dua variabel
• Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu ( berpangkat satu )

Hal – hal yang berhubungan dengan SPLDV : 

a. Suku 

Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel , koefisien dan konstanta . Dan setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan .

Contoh :

6x – y + 4 , maka suku – suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y dan 4

b. Variabel

Variabel , yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y .

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk . Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah

misal : nanas = x dan jeruk = y , maka  persamannya adalah 2x + 5y

c. Koefisien 

Koefisien , yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis . Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel , karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel .

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk . Jika di tulis dalam bentuk persamaan adalah :

misal : nanas = x dan jeruk = y , maka  persamannya adalah 2x + 5y . Dimana 2 dan 5 adalah koefisien . Dan 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y .

d. Konstanta 

Konstanta , yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel , maka nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai peubahnya .

Contoh :

2x + 5y  + 7 , dari persamaan tersebut konstanta adalah  7 , karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya .

Syarat Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dapat memiliki satu penyelesaian , yaitu :

• Ada lebih dari satu atau ada dua persamaan linier dua variabel sejenis .
• Persamaan Linier Dua Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Dua Variabel , bukan Persamaan Linier Dua Variabel yang sama .

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel 

A. Metode Substitusi atau metode Mengganti 

Metode substitusi , yaitu metode atau cara menyelesaikan SPLDV dengan mengganti salah satu peubah atau variabel.

Contoh Soal :

1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30 .

Penyelesaian :

Langkah pertama :

x + 3y = 15

<=> x = -3y + 15  . . . .( 1 )

3x + 6y = 30  . . . .(2)

Lalu , masukkan persamaan ( 1 ) ke dalam persamaan (2) , untuk mencari nilai y , maka :

3x + 6y = 30

<=> 3 ( -3y +15 ) + 6y = 30

<=> -9y + 45 + 6y = 30

<=> -3y = 30 – 45

<=> -3y = -15

<=> y = 5

Selanjutnya untuk mencari nilai x maka , gunakan salah satu persamaan boleh persamaan (1) atau ( 2 ) :

x + 3y = 15

<=>x + 3 ( 5 ) = 15

<=> x + 15 = 15

<=> x = 0

atau

3x + 6y = 30

<=> 3x + 6 ( 5 ) = 30

<=> 3x + 30 = 30

<=> 3x = 0

<=> x = 0

Jadi , HP = { 0 , 5 }

2. Tentukan Penyelesaian dari persamaan  3x+ 5y = 16 , dan 4x + y = 10 , jika x = a dan y = b . Maka tentukan nilai a dan b !

Penyelesaian :

3x + 5y = 16 . . . .(1)

4x + y = 10

<=> y = -4x + 10 . . .(2 )

Langkah pertama substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) :

3x + 5y = 16

<=> 3x + 5 ( -4x + 10 ) = 16

<=> 3x – 20x + 50 = 16

<=> -17x = 16 – 50

<=> -17x = -34

<=> x = 2

Lalu , substitusikan nilai x ke dalam persamaan (1) atau (2) :

3x + 5y = 16

<=> 3(2) + 5y = 16

<=> 6 +5y = 16

<=> 5y = 16 – 6

<=> 5y = 10

<=> y = 2

atau

4x + y = 10

<=> 4(2) + y = 10

<=> 8 +y = 10

<=> y = 2

Jadi , kita ketahui nilai x = 2 dan nilai y = 2 . Dan Yang ditanyakan adaah nilai a dan b , dimana x = a dan y = b , maka :

x = a , maka x = 2 dan y = b maka b = 2 .

B. Metode Eliminasi atau metode menghilangkan

Metode eliminasi , adalah Metode atau cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan cara mengeliminasi atau menghilngkan salah satu peubah ( variabel ) dengan menyamakan koefisien dari persamaan tersebut .

Cara untuk menghilangkan salah satu peubahnya yaitu dengan cara perhatikan tandanya , apabila tandanya sama [(+) dengan (+) atau (-) dengan (-) ] , maka untuk mengeliminasinya dengan cara mengurangkan . Dan sebaliknya apabila tandanya berbeda maka gunakanlah sistem penjumlahan .

Untuk lebih jelasnya , perhatikan contoh soal di bawah ini :

1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30 .

Penyelesaian :

Langkah pertama yaitu , menentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu . Kali ini kita akan menghilangkan x terlebih dahulu , dan supaya kita temukan nilai y . Caranya yaitu :

3x + 6y = 30    : 3

<=> x + 2y = 10 . . . . ( 1 )

x + 3y = 15 . . . .(2)

Dari persamaan (1) dan (2) , mari kita eliminasi , sehingga hasilnya :

x + 3y = 15

x + 2y = 10     _

<=> y = 5

Selanjutnya , untuk mengetahui nilai x , maka caranya sebagai berikut :

x + 3y    = 15  | x2 | <=> 2x + 6y = 30   . . . .( 3 )

3x + 6y = 30  | x1 | <=> 3x + 6y = 30  . . .. (4 )

Eliminasi antara persamaan (3) dengan (4 ) , yang hasilnya menjadi :

3x + 6y = 30

2x + 6y = 30   _

<=> x = 0

Maka , Himpunan penyelesaiannya adalah :

HP = { 0 . 5 }

2. Tentukan Penyelesaian dari persamaan  3x+ 5y = 16 , dan 4x + y = 10 , jika x = a dan y = b . Maka tentukan nilai a dan b !

Penyelesaian :

Langkah yang pertama , yaitu tentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu perhatikan penyelesaian di bawah ini

3x+ 5y = 16  | x1 | <=> 3x + 5y = 16 . . . .( 1 )

4x + y = 10 | x5 | <=> 20x + 5y = 50 . . .  ( 2 )

Dari persamaan (1 ) dan (2 ) , dapat kita eliminasi dan menghasilkan :

20x + 5y = 50

3x + 5y = 16     _

<=> 17 x + 0 = 34

<=. > x = 34 / 17

<=> x = 2

Selanjutnya , lakukan langkah yang sama namun kali ini yang harus sama x nya , maka caranya adalah :

3x+ 5y = 16 | x4 | <= > 12 x + 20y = 64 . . .(3)

4x + y = 10 | x3 | <=> 12x + 3y =  30 . . . .(4)

Persamaan (30 dan (4 ) , mari kita eliminasi untuk menghasilkan nilai y :

12 x + 20y = 64

12x + 3y =  30     _

<=> 0 + 17y = 34

<=> y = 2

Jadi , HP ={ 2 ,2 } , dan nilai a dan b adalah :

a= x = 2 dan b = y = 2

C. Metode Campuran ( eliminasi dan substitusi )

Metode campuran , yaitu suatu cara atau metode untuk menyelesaikan suatu persamaan linier dengan menguunakan dua metode yaitu metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan . Untuk lebih jelasnya , perhatikan contoh di bawah ini :

Diketahui persamaan  x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30  , dengan menggunakan metode campuran tentukanlah Himpunan penyelesaiannya !

Penyelesaian :

x + 3y = 15  | x3| <=> 3x +9x = 45

3x + 6y = 30  | 1 | <=> 3x + 6y = 30    _

                                            0 + 3y = 15

                                              y = 5

x + 3y = 15

<=> x + 3.5 = 15

<=> x + 15 = 15

<=> x = 0

Jadi , HP ={ 0 , 5 }

Demikian penjelasan mengenai Metode penyelesaian SPLDV . Mudah bukan ? prinsipnya sama dengan cara menyelesaikan persamaan linier . Dan yang perlu difahami benar yaitu bentuk sisitem persamaan linier dua variabel itu seperti apa . Kata kuncinya adalah dua variabel , berarti peubahnya ada dua yaitu x dan y atau simbol yang lainnya .

Dan diantara cara ketiga di atas , cara nomer tigalah yang paling efektif dan efisien . Kenapa demikian ? karena juka kita sedang menyelesaikan Soal UAS , pasti menjadi mempercepat waktu dan yang penting hasilnyapun benar .

Semoga dengan penjelasan di atas sedikit banyak dapat membantu menyelesaikan persoalan sistem persamaan linier dua variabel .