Rumus Perkalian Aljabar dan Pembagian Aljabar Matematika

Rumus Perkalian Aljabar – Materi Kuliah Rumus Perkalian aljabar dan pembagian aljabar merupakan bentuk dari operasi hitung aljabar . Rumus perkalian aljabar prinsipnya sama halnya dengan perkalian dalam operasi hitung perkalian bilangan bulat dan begitu juga pembagian aljabar sama halnya dengan  pembagian dalam bentuk bilangan bulat . Setelah kita tahu bagaimana prinsip mengalikan dan membagi bilangan , maka sekarang dalam mempelajari bentuk aljabar tidak akan sulit , karena tinggal mengaplikasikannya dalam bentuk aljabar.

Perkalian Bentuk Aljabar

Berbeda dengan penjumlahan dan pengurangan aljabar , dalam perkalian aljabar . Yang dikalikan bukan hanya koefisiennya saja , namun semua komponennya harus dikalikan .

Dan untuk menyelesaikannya digunakan metode distributif .

Bentuk perkalian satu bilangan dengan aljabar suku dua

a ( bn) = abn    { suku satu }

a ( bn + c ) = abn + ac

a ( n + c ) = an + ac

bn ( n + c ) = bn2  + bcn

Keterangan :

a= sebuah bilangan

n = variabel

b = koefisien

c = konstanta

Bentuk perkalian satu bilangan dengan aljabar suku tiga :

an ( n2  + n – b ) =  an3 + a n2  -b

Untuk lebih memahami tentang penjelasan diatas , perhatikan contoh soal di bawah ini :

a. Tentukan hasil perkalian dari bentuk aljabar berikut :

1. 2x ( 3x + 4 y )
2. 3y ( 2x + 6y )
3. 4y ( 2x + 3y )
4. x ( x2 – x + 1 )
5. 4x ( x2  + 2 + 8 )
6. 2 ( 3x + 4 ) + 6x ( x +2 )
7. -4 ( x + 6 ) – 2 ( 4x – 6 )
8. 6x ( 2x – 3y )
9. 6 ( x2  + 2 + 1 )
10. 2 ( 6x )

Jawab :

1. 2x ( 3x + 4 y )  = 6 x2  +  8xy

2. 3y ( 2x + 6y )  = 6xy +  18y2

3. 4y ( 2x + 3y ) = 8xy + 12 y2

4. x ( x2 – x + 1 ) =  x3 –  x2  + x

5. 4x ( x2  + 2 + 8 ) = 4 x3  + 8x + 32x

6. 2 ( 3x + 4 ) + 6x ( x +2 )

= 6x + 8 + 6x2 + 12x

= 6x2  + 6x + 12 x + 8

=   6x2 + 18x + 8

7. -4 ( x + 6 ) – 2 ( 4x – 6 )

= -4x – 24 – 8x + 12

= -12x – 12

8. 6x ( 2x – 3y ) =  12x2 –  18xy

9. 6 ( x2  + 2 + 1 ) = 6 x2 + 12 + 6

10. 2 ( 6x ) = 12x

b. Sebuah tanah yang berbentuk segi panjang memiliki lebar ( n+ 2 ) dan panjangnya ( 6n +2 ) ,maka hitunglah Luas tanah tersebut dan panjang serta lebar apabila variabel n = 2  !

Penyelesaian :

Diketahui :

p = 6n +2

l = n + 2

Ditanya :

1.Luas tanah

2. P dan l  , jika n = 2

Jawab :

1. L tanah = p  x l

                         = ( 6n + 2 ) x ( n+ 2 )

                         = 6n x n + 6n x 2 + 2 x n + 2 x 2

                          = 6n2  + 12n + 2n + 4

                           = 6n2 + 14n + 4

Jadi , Luas tanah tersebut dalam bentuk aljabar =  6n2 + 14n + 4

atau apabila n= 2

Luas =  6n2 + 14n + 4

         =6( 22 ) + 14(2) + 4

         = ( 6 x 4 ) + 28 + 4

         = 24 + 28 + 4

         = 56

2.  p = 6n +2 =  6(2) + 2 = 14

l = n + 2 = 2 + 2 = 4

Jadi , panjang nya adalah 14 dan lebarnya adalah 4

Pembagian Bentuk Aljabar

Operasi hitung dalam pembagian bentuk aljabar , yaitu sama halnya dengan pembagian bentuk bilangan bulat . Dalam bentuk bilangan bulat , untuk menyelesaikan suatu permasalahan pembagian bentuk aljbar maka langkah pertama harus mengetahui faktor persekutuan dari bentuk aljabar tersebut .

Bentuk pembagian aljabar :

 an : a  = an/a

             = n

keterangan :

Dalam pembagian bentuk aljabar , langkah pertama yaitu merubah menjadi bentuk pecahan dimana penyebutnya adalah pembaginya .

Setelah mengubah menjadi bentuk pecahan maka selanjutnya adalah menentukan faktor persekutuan dari kedua bentuk aljabar tersebut .

Untuk memudahkan dalam mempelajari operasi hitung dalam pembagian bentuk aljabar , perhatikan contoh soal dibawah ini :

a. Tentukan hasil pembagian dari bentuk – bentuk aljabar berikut :

1. 2x : 2
2. 24x2 y + 12 xy2  : 4xy
3. 10r : 2r
4. ( 8p3 + 10p2  – 12 p ) : ( -2p )

Jawab :

1.) 2x : 2 = 2x / 2

            = x

2.)  24x2 y + 12 xy2  : 4xy

Cara 1

  24x2 y + 12 xy2    /   4xy

 = 24x2 y  / 4xy  +    12xy2  / 4xy

= 6x + 3y

Cara 2 

 24x2 y + 12 xy2    /   4xy  >> faktor persekutuannya adalah 4xy

= 4xy ( 6x + 3y ) / 4xy

=  4xy ( 6x + 3y ) / 4xy 

= 6x + 3y

3.)  10r : 2r     =   10r / 2r

                          = 5

4.)  ( 8p3 + 10p2  – 12 p ) : ( -2p )

=  ( 8p3 + 10p2  – 12 p ) /  ( -2p )

=  8p3 + 10p2  – 12 p  /  -2p

=  -4p2  – 5p + 6

Demikian penjelasan mengenai Rumus Perkalian Aljabar dan Pembagian Aljabar . Pada dasarnya , tidak ada masalah yang sulit . Kunci dari permasalahan matematika yaitu karena kita malas untuk memahaminya . Semakin banyak kita berlatih untuk menyelesaikan suatu soal matematik , maka semakin banyak pula kesulitan yang akan terpecahkan . Kunci dari perkalian aljabar adalah kalikan semua suku – suku yang terdapat dalam bentuk aljabar . Sedangkan kunci dari pembagian aljabar adalah membagikan antar suku dengan faktor persekutunya . Semoga bermanfaat ,

Rumus Penjumlahan Aljabar dan Pengurangan Aljabar

Rumus Penjumlahan Aljabar – Materi Kuliah Rumus penjumlahan aljabar dan pengurangan aljabar sama halnya dengan penjumlahan ataupun pengurangan bentuk bilangan bulat . Aljabar merupakan salah satu cabang aritmatika dalam ilmu matematika  yang ditemukan oleh ilmuwan arab yang bernama ” Abu Abdullah Muhamad ibnu Musa Al Khawarizi ” . Aljabar memiliki arti suatu cara untuk menyelesaikan atau memecahkan suatu masalah .

Macam – Macam bentuk aljabar

Aljabar di bagi dalam 5 macam , yaitu :

1. Aljabar elementer ( aljabar dasar ) , yaitu bentuk aljabar untuk menyelesaikan bilangan riil yang menggunakan peubah untuk menandakan variabel dan konstanta.

2. Aljabar Linier

3. Aljabar Abstrak

4. Aljabar Universal

5. Aljabar komputer

Istilah – istilah yang perlu di fahami dalam bentuk aljabar

Istilah – istilah ini merupakan unsur – unsur yang terdapat dalam bentuk aljabar , unsur – unsur tersebut adalah :

1. Variabel  disebut juga dengan peubah , yang memiliki pengertian lambang pengganti bilangan yang belum di ketahui . Contoh variabel : x , y , a , b , xy

2. Koefisien yaitu angka yang terdapat di depan variabel .

contoh : x+3 = koefisiennya adalah 1 , 3x+5 = koefisiennya adalah 3

3. Konstanta ,yaitu suku dari suatu bentuk aljabar yang berdiri sendiri

contoh : 4x + 5y + 6 , maka konstanta dari bentuk aljabar tersebut adalah 6

4. Suku , yaitu nilai yang menyusun suatu bentuk aljabar yang berupa variabel , koefisien ataupun konstanta .

macam – macam suku :

1. Menurut jenisnya  :

• Suku sejenis , yaitu bentuk aljabar yang variabel dan pangkatnya sama  contoh : 3x dan x , 3xy dan xy
• suku tak sejenis , yaitu bentuk aljabar yang variabel dan pangkatnya tak sama .contoh :  4x dan 4y , 2xy dan  3xy2  , 2xy dan x

2. Menurut jumlah sukunya :

• suku satu , yaitu bentuk aljabar yang berdiri sendiri yang tidak dihubungkan oleh operasi penjumlahan ataupun selisih . contoh x , 2x
• suku dua  , yaitu bentuk aljabar yang dihubungkan oleh operasi penjumlahan ataupun selisih . contoh: x+y , 3x- y
• suku tiga , yaitu bentuk aljabar yang dihibungkan oleh 2 operasi penjumlahan ataupun selisih . contoh : x+y+7, 2x+2xy+2

Operasi bentuk aljabar

operasi hitung dalam aljabar , sama halnya dengan operasi hitung bilangan bulat yaitu meliputi :

1. Penjumlahan bentuk aljabar

2. Pengurangan bentuk aljabar

3. Perkalian bentukaljabar

4. Pembagian bentuk aljabar

5. Perpangkatan bentuk aljabar

Dalam kesempatan kali ini , kita akan mempelajari penjumlahan dan pengurangan aljabar .

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan yaitu hanya pada bentuk aljabar yang memiliki suku yang sama . Dalam penjumlahan dan pengurangan yang dijumlah ataupun dikurangkan adalah koefisiennya dalam suku yang sama .

Penjumlahan Bentuk Aljabar

an + bn = ( a + b )n

Pengurangan Bentuk Aljabar

an – bn= ( a – b ) n

Keterangan :

a dan b = koefisien

n = Variabel

Contoh soal 

1. Tentukan koefisien  dari bentuk – bentuk aljabar berikut :

a. 2x2 + x – 1

b. 3x2 +- 2x + 1

c. x2 + 5x – 6

d. ax3 + bx2 + cx + d

Jawab :

a. koefisien x2  = 2  dan  x = 1

b. koefisien  x2 = 3 dan x = 2

c. koefisien  x2  = 1 dan x = 5

d. koefisien x3  = a ,   x2  = b  dan x = c

2. Sederhanakan bentuk aljabar berikut :

a. 3x2  – 4 x2 + 7x – 2 x + 1

b. 4x2 – 2y + 1 – 5x2 + x + y

c. 4 ( 2x2 – y ) + 3 ( x2 + y )

Jawab :

a.  3x2  – 4 x2 + 7x – 2 x + 1

= ( 3 – 4 ) x2  + ( 7 – 2 )x + 1

= -1 x2  +  5x  +  1

b. 4x2 – 2y + 1 – 5x2 + x + y

= (4 – 5 )x2 – ( 2 + 1 ) y + 1 + x

= -1x2  – 3y  +1 +  x

c. 4 ( 2x2 – y ) + 3 ( x2 + y )

= ( 4 + 3 ) + ( 2 + 1 ) x2 + ( -y + y )

= 7 + 3x2 – y  +  y

3. Tentukan suku – suku sejenis dari pasangan berikut :

a. x2  + 2x2  – 1 dengan 3x2 + x +xy

b. 2x2 + x dengan –x2  +2

c. -2x +5 dengan 5x2  -2

d. x3  – x2  dengan 4x2  + x

Jawab :

a. x2  + 2x – 1 dengan 3x2 + x +xy

suku – suku yang sejenis adalah :  x2  dan 3x2   ,  2x dan x

b. 2x2 + x dengan –x2  +2

suku – suku yang sejenis adalah : 2x2  dan –x2

c. -2x +5 dengan 5x2  -2

suku – suku yang sejenis adalah : s dan -2

d. x3  – x2  dengan 4x2  + x

suku – suku yang sejenis adalah : – x2 dan 4x2

4. Tentukan penjumlahan dari bentuk aljabar berikut :

a. 4x + x

b. 5xy + 6xy

c. 3xy + 3 + 4xy +1

d. ( 3x + 4xy + 2 ) + ( 3 + 4x + 2xy )

Jawab :

a. 4x + x = 5x

b. 5xy + 6xy  = 11xy

c.  3xy + 3 + 4xy +1

= ( 3 + 4 ) xy + ( 3 + 1 )

= 7xy + 4

d. ( 3x + 4xy + 2 ) + ( 3 + 4x + 2xy )

= 3x + 4xy + 2 + 3 + 4x + 2xy

= ( 3x + 4x ) + ( 4xy + 2xy ) + ( 2 + 3 )

= 7x + 6xy + 5

5. Tentukan hasil pengurangan dari bentuk aljabar berikut :

a. 5xy – xy

b. 3y – 5y

c. -x – 4x

Jawab :

a. 5xy – xy  = 4 xy

b. 3y – 5y = -2y

c. -x -4x = -5x

6. Tentukan hasil dari penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar berikut :

a. -2x2 + 5x2

b. ( -5 x3 + 4x2 -7  )  + ( x2  -x + 4 )

c. ( 3p3 – 2aq2 + 5 ) – ( p2 – aq2 -10 )

d.  3x2  – 4x2 + 7x – 2x +1

Jawab :

a. -2x2 + 5x2

= ( -2 + 5 ) x2

= 3 x2

b. ( -5 x3 + 4x2 -7  )  + ( x2  -x + 4 )

= -5  x3+  ( 4 + 1 )x2  – x + ( -7 + 4 )

= -5  x3  + 5x2  – x -3

c. ( 3p3 – 2aq2 + 5 ) – ( p2 – aq2 -10 )

= 3p3  –  p2  –  ( 2 – 1 )  aq2  + ( 5 – 10 )

=   3p3  –  p2  – aq2 -5

d.  3x2  – 4x2 + 7x – 2x +1

= ( 3 – 4 ) x2  + ( 7 – 2 ) x + 1

= -1 x2 – 5x + 1

Demikian penjelasan mengenai rumus penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar . Kunci untuk menyelesaikan sebuah permasalahan dari bentuk aljabar khususnya penjumlahan dan pengurangan yaitu memahami suku – suku yang sejenis dan pangkatnya sama . Setelah kita memahami itu semua , maka pemahaman tentang penjumlahan dan pengurangan dapat kita langsung kita aplikasikan ke dalamnya . Sesungguhnya sesuatu yang terlihat sulit , apabila kita serius dalam berlatih dan berusaha memahaminya itu semua dapat berubah menjadi hal yang sangat mudah .

Cara Menghitung Rumus Pemfaktoran Aljabar Matematika

Rumus Pemfaktoran Aljabar –  Materi Kuliah Rumus pemfaktoran aljabar yaitu sebuah rumus untuk menyatakan sebuah bentuk persamaan aljabar menjadi sebuah bentuk perkalian aljabar atau faktorisasinya . Dalam pembahasan sebelumnya , kita telah mengenal istilah faktorisasi aljabar . Faktor dari sebuah bilangan yaitu bilangan  pembagi habis suatu bilangan tersebut . Contohnya bentuk aljabar ab = a x b , faktorisasinya = a dan b . bentuk aljabar a(x + y ) maka faktorisasinya a dan (x+y ) . Untuk memahami lebih dalam mengenai rumus pemfaktoran , perhatikan penjelasan dibawah ini .

Metode Pemfaktoran Aljabar

1. Sifat Distributif 

Sifat distributif dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar dengan mencari FPB dari bentuk alhabar tersebut . Persamaan yang dapat diselesaikan menggunakan sifat distributif yaitu bentuk aljabar :

Contoh soal :

Faktorkan bentuk – bentuk aljabar berikut ini :

a.  3x2 y + 6xy2

b. 15pq + pq2 r

c.  2a2  + 4a2 y

d. 2a2  + 8a2 b

e.   3x2 y + 9xy2

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal di atas maka langkah pertama yaitu mencari Fpb dari bentuk aljabar tersebut .

a.  3x2 y + 6xy2

FPB dari  3x2 y + 6xy2  adalah 3xy

jadi bentuk pemfaktorannya :   3x2 y + 6xy2  =  3xy ( x + 2y )

b.  15pq + pq2 r

FPB dari  15pq + pq2 r  adalah pq

jadi bentuk pemfaktorannya :  15pq + pq2 r = pq ( 15 + qr )

c.  2a2  + 4a2 y

FPB dari 2a2  + 4a2 y = 2a

jadi , bentuk pemfaktorannya :  2a2  + 4a2 y = 2a ( a + 2ay )

d. 2a2  + 8a2 b

FPB dari 2a2  + 8a2 b = 2a

jadi , bentuk pemfaktorannya : 2a2  + 8a2 b = 2a ( a + 4ab )

e.   3x2 y + 9xy2

FPB dari 3x2 y + 9xy2   = 3xy

jadi , bentuk pemfaktorannya : 3xy ( x + 3y )

2. Pemfaktoran Dalam Bentuk selisih kuadrat 

Cotoh soal :

Faktorkan bentuk aljabar berikut ini :

a.  x2 – 2 2

b. 42 − x2 

c. 5 2 − x2 

d. 4x2 − 16

e. 9x8 − 4y4

Penyelesaian :

a.   x2 – 2 2  = ( x+ 2 ) ( x – 2 )

b.  42 − x2   = ( 4 + x ) ( 4 – x )

c. 5 2 − x2    =  ( 5 + x ) ( 5 – x )

d.  4x2 − 16

= (2x)2  – ( 4 ) 2

= ( 2x + 4 ) ( 2x – 4 )

e. 9x8 − 4y4

= (3x4 )2  – ( 2y2 )2

= ( 3x4 +  2y2  ) ( 3x4 –  2y2  )

3. Pemfaktoran Aljabar Dalam Bentuk Kuadrat yang sempurna 

atau

Contoh Soal :

a. a2 + 10a + 25

b. x2 − 16 x + 64

c. 16b2 − 20bc + 25c2

d. p2 – 10p + 25

e. 16a2 + 16a + 4

Penyelesaian :

a.  a2 + 10a + 25 = ( a + 5 ) ( a + 5 )

b.  x2 − 16 x + 64 = ( x – 8 ) ( x – 8 )

c. 16b2 − 40bc + 25c2 

= ( 4b -5c ) ( 4b – 5c )

d.  p2 – 10p + 25 = ( p – 5 ) ( p – 5 )

e.  16a2 + 16a + 4

= ( 4a + 2 ) ( 4a + 2 )

4. Pemfaktoran Aljabar Dalam Bentuk  ax2  + bx + c = 0 , dan a = 0

Contoh soal :

a. a 2 + 7a + 12

b. p2 + 6p +8
c. n2 + 9n + 14

d. q2 + 9q + 18

Penyelesaian :

Langkah pertama , yaitu menentukan dua angka yang apabila di jumlah sama dengan angka tengah dan apabila di kali sama dengan huruf yang ke tiga .

a.  a 2 + 7a + 12 = ( a + 4 ) ( a + 3 )

karena  angka 4 dan 3 diatas apabila  4 + 3 = 7 dan 4 x 3 = 12

b.  p2 + 6p + 8 = ( p + 2 ) ( p + 4 )

karena  angka 2 dan 4 diatas apabila 2 + 4 = 6 dan apabila 2 x 4 = 8

c. n2 + 9n + 14 = ( n + 2 ) ( n + 7 )

karena  angka 3 dan 7 diatas apabila 2 + 7 = 9  , dan 2 x 7 = 14

d. q2 + 9q + 18 = ( q + 3 ) ( q + 6 )

karena angka 3 dan 6 diatas apabila 3 + 6 = 9 dan 3 x 6 = 18

5. Pemfaktoran Aljabar Dalam Bentuk  ax2  + bx + c = 0 , dan a ≠ 0

 ax2  + bx + c = 0

Contoh soal 

a. 5x2  + 13 – 6  = 0

Pembahasan :

5x2  + 13 – 6  = 0

a x c = m x n , m + n = b

jadi ,  angka yang cocok adalah  15 dan -2 , karena  5 x -6 = 15 x – 2 dan 15 + (-2 ) = 13 maka

          5x2  + 13 – 6

< = > 5x2  + 15x -2 x -6

< = > 5x ( x + 3 ) – 2 ( x + 3 )

< = >( 5x – 2 ) ( x + 3 )

b. 2x2  + 11x – 6

Pembahasan :

2x2  + 11x – 6

a x c = m x n , m + n = b

jadi , angka yang cocok adalah 12 dan – 1 , karena 2 x -6 = 12  x -1 dan 12 + ( -1 ) = 11 maka

2x2  + 11x – 6

<=> 2x2  + 12x – x – 6

<=> 2x ( x + 6 ) -( x + 6 )

<=> ( 2x -1 ) ( x + 6 )

Demikian penjelasan mengenai Cara untuk menghitung Rumus Pemfaktoran Bentuk aljabar secara lengkap . Dan telah dijelaskan beserta dengan contohnya . Inti dari pemfaktoran bentuk aljabar yaitu harus memahami FPB dari suatu bilangan . Karena jika tidak mengetahui maka akan sulit untuk mempelajarinya . Selain itu juga untuk memudahkan dalam menyelesaikan soal pemfaktoran aljabar langkah pertama harus memahami bentuk dari persamaan tersebut . Bentuk dari persamaan aljabar telah dijelaskan di atas . Selalu semangat untuk belajar , karena ilmu matematika adalah ilmu yang sangat mudah untuk dipelajari apabila yang mempelajari itu bersungguh – sungguh .